Home SSC CGL Syllabus Quantitative Aptitude Whole numbers, decimals, and fractions

Whole Numbers, Decimals & Fractions

पूर्ण संख्याएँ, दशमलव और भिन्न

Master the building blocks of Quantitative Aptitude — the most foundational topic for SSC CGL Tier 1 & Tier 2. This chapter covers number systems, decimal operations, fraction conversions, simplification, and BODMAS — with SSC-specific tricks to solve in under 30 seconds.

मात्रात्मक अभियोग्यता (Quantitative Aptitude) के आधारभूत सिद्धांतों पर महारत हासिल करें — जो SSC CGL Tier 1 और Tier 2 के लिए सबसे बुनियादी विषय है। इस अध्याय में संख्या प्रणाली, दशमलव संक्रियाएं, भिन्न रूपांतरण, सरलीकरण और BODMAS शामिल हैं — साथ ही 30 सेकंड से कम समय में हल करने के लिए SSC-विशिष्ट ट्रिक्स दी गई हैं।

Key Concepts & Study Notes मुख्य अवधारणाएं और अध्ययन नोट्स

1. Number Classification 1. संख्याओं का वर्गीकरण (Number Classification)

Typeप्रकार Symbolप्रतीक Examplesउदाहरण
Natural Numbers (प्राकृतिक संख्याएं) $\mathbb{N}$ $1, 2, 3, 4, 5, \dots$
Whole Numbers (पूर्ण संख्याएं) $\mathbb{W}$ $0, 1, 2, 3, 4, \dots$
Integers (पूर्णांक) $\mathbb{Z}$ $\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots$
Rational Numbers (परिमेय संख्याएं) $\mathbb{Q}$ $\frac{1}{2}, -\frac{3}{4}, 0.333\dots, 5$
Irrational Numbers (अपरिमेय संख्याएं) - $\sqrt{2}, \pi, e$
🎯 SSC CGL Insight: Questions often test whether $0$ is a natural number (it is NOT) or whether every integer is a rational number (YES, since any integer $n = \frac{n}{1}$). 🎯 SSC CGL इनसाइट: परीक्षाओं में अक्सर पूछा जाता है कि क्या $0$ एक प्राकृतिक संख्या है (यह नहीं है) या क्या प्रत्येक पूर्णांक एक परिमेय संख्या है (हाँ, क्योंकि किसी भी पूर्णांक $n = \frac{n}{1}$)।

2. Properties of Whole Numbers 2. पूर्ण संख्याओं के गुणधर्म (Properties of Whole Numbers)

Propertyगुणधर्म Addition (+)योग (+) Multiplication (×)गुणन (×)
Closure (संवर्क) ✅ $a + b \in \mathbb{W}$ ✅ $a \times b \in \mathbb{W}$
Commutative (क्रमविनिमेय) ✅ $a + b = b + a$ ✅ $a \times b = b \times a$
Associative (साहचर्य) ✅ $(a+b)+c = a+(b+c)$ ✅ $(a\times b)\times c = a\times(b\times c)$
Identity (तत्समक) ✅ $a + 0 = a$ ($0$ = identity) ✅ $a \times 1 = a$ ($1$ = identity)
Distributive (वितरण) ✅ $a \times (b + c) = (a \times b) + (a \times c)$
⚠️ Caution: Commutative and Associative properties DO NOT hold true for subtraction ($-$) and division ($\div$). E.g., $5 - 3 \neq 3 - 5$. ⚠️ सावधानी: क्रमविनिमेय और साहचर्य नियम घटाव ($-$) और भाग ($\div$) के लिए लागू नहीं होते हैं। जैसे, $5 - 3 \neq 3 - 5$।

3. Fractions — Types & Operations 3. भिन्न — प्रकार और संक्रियाएं (Fractions — Types & Operations)

A fraction represents a part of a whole, written as $\frac{Numerator}{Denominator}$ or $\frac{p}{q}$ ($q \neq 0$). एक भिन्न किसी पूर्ण संख्या के भाग को दर्शाती है, जिसे $\frac{\text{अंश (Numerator)}}{\text{हर (Denominator)}}$ या $\frac{p}{q}$ ($q \neq 0$) के रूप में लिखा जाता है।

Types of Fractionsभिन्नों के प्रकार

  • Proper: $N < D$ (e.g., $\frac{2}{3}, \frac{5}{7}$)
  • Improper: $N \ge D$ (e.g., $\frac{7}{4}, \frac{9}{5}$)
  • Mixed: Whole Number + Proper Fraction (e.g., $1\frac{3}{4}$)
  • Equivalent: Value is same (e.g., $\frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{4}{8}$)

Fraction Operationsभिन्न संक्रियाएं

  • Addition/Subtraction: $\frac{a}{b} \pm \frac{c}{d} = \frac{a \times d \pm c \times b}{b \times d}$
  • Multiplication: $\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}$
  • Division: $\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} = \frac{a \times d}{b \times c}$

4. Decimals 4. दशमलव (Decimals)

A decimal number consists of a whole number part and a fractional part separated by a decimal point (e.g., $12.34$). एक दशमलव संख्या में एक पूर्ण संख्या भाग और एक भिन्नात्मक भाग होता है जिसे दशमलव बिंदु द्वारा अलग किया जाता है (जैसे, $12.34$)।

Place Value Chartस्थानीय मान तालिका

Hundreds ($100$) Tens ($10$) Units ($1$) • Tenths ($\frac{1}{10}$) Hundredths ($\frac{1}{100}$) Thousandths ($\frac{1}{1000}$)
3 4 5 • 2 6 7

5. Recurring Decimal ↔ Fraction Conversion 5. आवर्ती दशमलव ↔ भिन्न रूपांतरण (Recurring Decimal ↔ Fraction)

Rule 1: Pure Recurring Decimals नियम 1: शुद्ध आवर्ती दशमलव

Write the repeating number as numerator, and put as many 9s in the denominator as there are repeating digits. आवर्ती संख्या को अंश के रूप में लिखें, और हर में उतने ही 9 रखें जितने आवर्ती अंक हैं।

$0.\overline{x} = \frac{x}{9}$   $0.\overline{xy} = \frac{xy}{99}$

Rule 2: Mixed Recurring Decimals नियम 2: मिश्रित आवर्ती दशमलव

Numerator = (Whole number - Non-repeating part). Denominator = (9s equal to repeating digits followed by 0s equal to non-repeating decimal digits). अंश = (पूरी संख्या - गैर-आवर्ती भाग)। हर = (आवर्ती अंकों के बराबर 9 और उसके बाद गैर-आवर्ती दशमलव अंकों के बराबर 0)।

$0.ab\overline{cd} = \frac{abcd - ab}{9900}$

6. VBODMAS Rule 6. VBODMAS नियम (VBODMAS Rule)

To simplify arithmetic expressions correctly, follow the order of operations: गणितीय व्यंजकों को सही ढंग से सरल करने के लिए, संक्रियाओं के इस क्रम का पालन करें:

V (Vinculum/Bar) $\to$ B (Brackets) $\to$ O (Of / का) $\to$ D (Division / भाग) $\to$ M (Multiplication / गुणा) $\to$ A (Addition / जोड़) $\to$ S (Subtraction / घटाव)

7. HCF & LCM of Fractions 7. भिन्नों का HCF और LCM (HCF & LCM of Fractions)

$\text{HCF of Fractions} = \frac{\text{HCF of Numerators}}{\text{LCM of Denominators}}$
$\text{LCM of Fractions} = \frac{\text{LCM of Numerators}}{\text{HCF of Denominators}}$

8. Important Fraction ↔ Decimal Equivalents 8. महत्वपूर्ण भिन्न ↔ दशमलव मान (Important Equivalents)

$\frac{1}{2} = 0.5$
$\frac{1}{3} \approx 0.333$
$\frac{1}{4} = 0.25$
$\frac{1}{5} = 0.2$
$\frac{1}{6} \approx 0.167$
$\frac{1}{8} = 0.125$
$\frac{1}{9} \approx 0.111$
$\frac{1}{11} \approx 0.0909$

9. Divisibility Rules (Quick Reference) 9. विभाज्यता के नियम (Divisibility Rules)

  • By 2: Last digit is even ($0, 2, 4, 6, 8$)
  • 2 से: अंतिम अंक सम ($0, 2, 4, 6, 8$) हो
  • By 3: Sum of digits divisible by 3
  • 3 से: अंकों का योग 3 से विभाज्य हो
  • By 4: Last 2 digits form a number divisible by 4
  • 4 से: अंतिम 2 अंक 4 से विभाज्य संख्या बनाते हों
  • By 5: Last digit is 0 or 5
  • 5 से: अंतिम अंक 0 या 5 हो
  • By 6: Divisible by both 2 and 3
  • 6 से: 2 और 3 दोनों से विभाज्य हो
  • By 8: Last 3 digits form a number divisible by 8
  • 8 से: अंतिम 3 अंक 8 से विभाज्य संख्या बनाते हों
  • By 9: Sum of digits divisible by 9
  • 9 से: अंकों का योग 9 से विभाज्य हो
  • By 11: Difference of sum of digits at odd and even places is 0 or divisible by 11
  • 11 से: विषम और सम स्थानों के अंकों के योग का अंतर 0 हो या 11 से विभाज्य हो

Quick Formula Card त्वरित सूत्र कार्ड

  • Sum of first $n$ natural numbers = $$\frac{n(n+1)}{2}$$
  • प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं का योग = $$\frac{n(n+1)}{2}$$
  • Sum of first $n$ whole numbers = $$\frac{n(n+1)}{2} \quad \text{(same, since 0 adds nothing)}$$
  • प्रथम $n$ पूर्ण संख्याओं का योग = $$\frac{n(n+1)}{2} \quad \text{(समान, क्योंकि 0 जोड़ने पर मान नहीं बदलता)}$$
  • Sum of squares of first $n$ natural numbers = $$\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$
  • प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों का योग = $$\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$
  • Sum of cubes of first $n$ natural numbers = $$\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2$$
  • प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के घनों का योग = $$\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2$$
  • Number of factors of $N = p_1^a \times p_2^b \times p_3^c \to (a+1)(b+1)(c+1)$
  • गुणनखंडों की संख्या यदि $N = p_1^a \times p_2^b \times p_3^c \to (a+1)(b+1)(c+1)$
  • Fraction → Percentage: Multiply by 100
  • भिन्न → प्रतिशत: 100 से गुणा करें
  • Decimal → Fraction: Write decimal as numerator, put $10^n$ as denominator ($n$ = decimal places), simplify
  • दशमलव → भिन्न: दशमलव को अंश के रूप में लिखें, हर में $10^n$ रखें ($n$ = दशमलव स्थान), सरल करें

SSC CGL — Tips, Tricks & Shortcuts SSC CGL — टिप्स, ट्रिक्स और शॉर्टकट्स

💡 Trick 1 — Comparing Fractions Instantly:
If numerators are same $\to$ Smaller denominator = Larger fraction (e.g., $\frac{3}{5} > \frac{3}{7}$).
If denominators are same $\to$ Larger numerator = Larger fraction.
Otherwise, use cross-multiplication.
💡 ट्रिक 1 — भिन्नों की तुरंत तुलना करना:
यदि अंश समान हैं $\to$ छोटा हर = बड़ी भिन्न (जैसे, $\frac{3}{5} > \frac{3}{7}$)।
यदि हर समान हैं $\to$ बड़ा अंश = बड़ी भिन्न।
अन्यथा, तिर्यक-गुणा (cross-multiplication) का उपयोग करें।
💡 Trick 2 — Quick Decimal Multiplication:
$0.abc \times 0.de$ $\to$ Multiply $abc \times de$, then place the decimal point (total decimal places = $3+2 = 5$ places from right).
E.g., $0.25 \times 0.4 = 25 \times 4 = 100$ $\to$ $3$ decimal places $\to$ $0.100 = 0.1$
💡 ट्रिक 2 — त्वरित दशमलव गुणा:
$0.abc \times 0.de$ $\to$ $abc \times de$ का गुणा करें, फिर दशमलव बिंदु लगाएं (कुल दशमलव स्थान = दाईं ओर से $3+2 = 5$ स्थान)।
जैसे, $0.25 \times 0.4 = 25 \times 4 = 100$ $\to$ $3$ दशमलव स्थान $\to$ $0.100 = 0.1$
💡 Trick 3 — "of" vs "÷" in Simplification:
"of" = multiplication and must be solved BEFORE division in BODMAS. This is the #1 trap in SSC simplification questions.
💡 ट्रिक 3 — सरलीकरण में "of" (का) बनाम "÷":
"of" = गुणा, और इसे BODMAS में भाग से पहले हल किया जाना चाहिए। यह SSC सरलीकरण प्रश्नों में सबसे बड़ा जाल है।
💡 Trick 4 — Recurring Decimal Shortcut for 1/7:
All fractions with 7 as denominator follow the cyclic pattern 142857:
$\frac{1}{7} = 0.\overline{142857}$, $\frac{2}{7} = 0.\overline{285714}$, $\frac{3}{7} = 0.\overline{428571}$, $\frac{4}{7} = 0.\overline{571428}$, $\frac{5}{7} = 0.\overline{714285}$, $\frac{6}{7} = 0.\overline{857142}$
Just rotate the digits!
💡 ट्रिक 4 — 1/7 के लिए आवर्ती दशमलव शॉर्टकट:
हर में 7 वाले सभी भिन्न चक्रीय पैटर्न 142857 का पालन करते हैं:
$\frac{1}{7} = 0.\overline{142857}$, $\frac{2}{7} = 0.\overline{285714}$, $\frac{3}{7} = 0.\overline{428571}$, $\frac{4}{7} = 0.\overline{571428}$, $\frac{5}{7} = 0.\overline{714285}$, $\frac{6}{7} = 0.\overline{857142}$
बस अंकों को घुमाएं!
💡 Trick 5 — Largest/Smallest Fraction:
When asked to arrange fractions, convert to decimals only for 2-3 tricky ones. For most, cross-multiplication is faster.
💡 ट्रिक 5 — सबसे बड़ी/सबसे छोटी भिन्न:
जब भिन्नों को व्यवस्थित करने के लिए कहा जाए, तो केवल 2-3 कठिन भिन्नों के लिए ही दशमलव में बदलें। अधिकांश के लिए, तिर्यक-गुणा अधिक तीव्र होता है।
💡 Trick 6 — Successive Division Remainder:
When a number is divided by $a, b, c$ successively leaving remainders $r_1, r_2, r_3$, the original number = $a \times [b \times (c \times Q + r_3) + r_2] + r_1$ (work from the last divisor backwards).
💡 ट्रिक 6 — क्रमागत भाग शेषफल (Successive Division Remainder):
जब किसी संख्या को क्रमशः $a, b, c$ से भाग देने पर शेषफल क्रमशः $r_1, r_2, r_3$ बचता है, तो मूल संख्या = $a \times [b \times (c \times Q + r_3) + r_2] + r_1$ (अंतिम भाजक से पीछे की ओर कार्य करें)।
⚠️ Common Mistakes to Avoid:
✗ Ignoring Vinculum bar in simplification (e.g., $10 - \overline{5 - 3} = 10 - 2 = 8$, NOT $10-5-3 = 2$).
✗ Forgetting to convert mixed fractions to improper before multiplying/dividing.
✗ Treating "of" as addition instead of multiplication.
⚠️ सामान्य गलतियाँ जिनसे बचें:
✗ सरलीकरण में रेखा कोष्ठक (Vinculum bar) की उपेक्षा करना (जैसे, $10 - \overline{5 - 3} = 10 - 2 = 8$, न कि $10-5-3 = 2$)।
✗ गुणा/भाग करने से पहले मिश्रित भिन्नों को अनुचित भिन्नों में बदलना भूलना।
✗ "of" (का) को गुणा के बजाय जोड़ मान लेना।

Self-Evaluation Checklist स्व-मूल्यांकन चेकलिस्ट

  • I can classify Natural, Whole, Integer, Rational & Irrational numbers मैं प्राकृतिक, पूर्ण, पूर्णांक, परिमेय और अपरिमेय संख्याओं का वर्गीकरण कर सकता/सकती हूँ
  • I know all 5 properties (Closure, Commutative, Associative, Identity, Distributive) मैं सभी 5 गुणों (संवर्क, क्रमविनिमेय, साहचर्य, तत्समक, वितरण) को जानता/जानती हूँ
  • I can identify Proper, Improper, Mixed, Like, Unlike & Equivalent fractions मैं उचित, अनुचित, मिश्रित, समान, असमान और तुल्य भिन्नों की पहचान कर सकता/सकती हूँ
  • I can add, subtract, multiply, divide & compare fractions fluently मैं भिन्नों को आसानी से जोड़, घटा, गुणा, भाग और तुलना कर सकता/सकती हूँ
  • I can convert any recurring decimal to a fraction using the 9s method मैं 9 के नियम का उपयोग करके किसी भी आवर्ती दशमलव को भिन्न में बदल सकता/सकती हूँ
  • I can apply VBODMAS correctly including "of" and vinculum bar मैं "of" (का) और रेखा कोष्ठक सहित VBODMAS को सही ढंग से लागू कर सकता/सकती हूँ
  • I can calculate HCF & LCM of fractions मैं भिन्नों के HCF और LCM की गणना कर सकता/सकती हूँ
  • I have memorized the fraction ↔ decimal conversion table मैंने भिन्न ↔ दशमलव रूपांतरण तालिका याद कर ली है
  • I know divisibility rules for 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 11 मैं 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 11 के विभाज्यता नियमों को जानता/जानती हूँ
  • I have solved all 12 practice questions below under timed conditions मैंने नीचे दिए गए सभी 12 अभ्यास प्रश्नों को समय सीमा के भीतर हल कर लिया है

Practice Questions (CGL Level) अभ्यास प्रश्न (CGL स्तर)

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Previous Year Questions (PYQ Pattern) पिछले वर्षों के प्रश्न (PYQs)

Directly compiled and extracted actual questions from recent SSC CGL papers (2024 & 2025). हाल के SSC CGL परीक्षाओं (2024 और 2025) के वास्तविक प्रश्न पत्र से संकलित किए गए प्रश्न।

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Bilingual Mini Test द्विभाषी मिनी टेस्ट

Test your understanding of Whole Numbers, Decimals & Fractions with this quick bilingual timed quiz. इस त्वरित द्विभाषी समयबद्ध क्विज़ के साथ पूर्ण संख्याएँ, दशमलव और भिन्न की अपनी समझ का परीक्षण करें।

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Your Result: आपका परिणाम:

Explanation & Solutions स्पष्टीकरण और समाधान

Q2 Solution:
$\text{HCF of fractions} = \frac{\text{HCF of numerators}}{\text{LCM of denominators}}$
$\text{Numerators: } 2, 8, 64 \implies \text{HCF} = 2$
$\text{Denominators: } 3, 9, 81 \implies \text{LCM} = 81$
$\text{HCF} = \frac{2}{81}$
Correct Option: (a) $\text{भिन्नों का HCF} = \frac{\text{अंशों का HCF}}{\text{हरों का LCM}}$
$\text{अंश: } 2, 8, 64 \implies \text{HCF} = 2$
$\text{हर: } 3, 9, 81 \implies \text{LCM} = 81$
$\text{HCF} = \frac{2}{81}$
सही विकल्प: (a)
Q3 Solution:
Let the number be $N$.
$N = 3 \times (\text{quotient } Q_1) + 2$
$Q_1 = 4 \times Q_2 + 3$
Substitute $Q_1$ back:
$N = 3(4Q_2 + 3) + 2 = 12Q_2 + 9 + 2 = 12Q_2 + 11$
Dividing $N$ by 12 leaves remainder 11.
Correct Option: (c) माना संख्या $N$ है।
$N = 3 \times (\text{भागफल } Q_1) + 2$
$Q_1 = 4 \times Q_2 + 3$
$Q_1$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$N = 3(4Q_2 + 3) + 2 = 12Q_2 + 9 + 2 = 12Q_2 + 11$
संख्या $N$ को 12 से विभाजित करने पर शेषफल 11 प्राप्त होता है।
सही विकल्प: (c)