Elementary Surds
प्रारंभिक करणी (Surds)
Core indices rules, rationalization methodologies, mixed quadratic surds square roots, comparison techniques, and dynamic CGL exam questions.
घातांक के मूल नियम, परिमेयकरण के तरीके, मिश्रित द्विघात करणी के वर्गमूल, तुलना तकनीक और गतिशील CGL परीक्षा प्रश्न।
1. Definition of Surds 1. करणी (Surds) की परिभाषा
When a root of a rational number cannot be exactly determined as a rational number, it is called a surd. For example, $\sqrt{2}$, $\sqrt[3]{5}$, $\sqrt[4]{10}$ are surds. However, $\sqrt{4} = 2$ is not a surd because it evaluates to a rational number.
जब किसी परिमेय संख्या का मूल (root) सटीक रूप से परिमेय संख्या के रूप में ज्ञात नहीं किया जा सकता है, तो इसे करणी (surd) कहा जाता है। उदाहरण के लिए, $\sqrt{2}$, $\sqrt[3]{5}$, $\sqrt[4]{10}$ करणी हैं। हालांकि, $\sqrt{4} = 2$ करणी नहीं है क्योंकि यह एक परिमेय संख्या है।
Laws of Indices & Surds घातांक और करणी के नियम
The basic laws of indices and surds that govern algebraic simplifications are:
बीजीय सरलीकरण को नियंत्रित करने वाले घातांक और करणी के मूल नियम निम्नलिखित हैं:
| Indices Ruleघातांक नियम | Surds Equivalentकरणी समतुल्य | Mathematical Representationगणितीय प्रतिनिधित्व |
|---|---|---|
| Product Ruleगुणन नियम | $\sqrt[n]{a} \times \sqrt[n]{b}$ | $\sqrt[n]{ab} = a^{1/n} \cdot b^{1/n}$ |
| Quotient Ruleभागफल नियम | $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$ | $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \left(\frac{a}{b}\right)^{1/n}$ |
| Power of Powerघात की घात | $(\sqrt[n]{a})^n$ | $a$ |
| Nested Surdsनेस्टेड करणी | $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}$ | $\sqrt[mn]{a} = a^{1/(mn)}$ |
2. Rationalization of Surds 2. करणी का परिमेयकरण
Rationalization is the process of converting a surd in the denominator of a fraction into a rational number by multiplying both the numerator and the denominator by an appropriate rationalizing factor (conjugate).
परिमेयकरण वह प्रक्रिया है जिसमें किसी भिन्न के हर (denominator) में स्थित करणी को एक परिमेय संख्या में बदलने के लिए अंश और हर दोनों को एक उपयुक्त परिमेयकरण कारक (संयुग्मी) से गुणा किया जाता है।
$\frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = \frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{(\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt{a} - \sqrt{b})} = \frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{a - b}$
Quick Formula Card त्वरित सूत्र कार्ड
- If $x = a + 2\sqrt{b}$ where $a = p+q$ and $b = pq$, then $\sqrt{x} = \sqrt{p} + \sqrt{q}$.
- यदि $x = a + 2\sqrt{b}$ जहाँ $a = p+q$ और $b = pq$ है, तो $\sqrt{x} = \sqrt{p} + \sqrt{q}$ होगा।
- If $x = a - 2\sqrt{b}$ where $a = p+q$ and $b = pq$ (with $p > q$), then $\sqrt{x} = \sqrt{p} - \sqrt{q}$.
- यदि $x = a - 2\sqrt{b}$ जहाँ $a = p+q$ और $b = pq$ ($p > q$) है, तो $\sqrt{x} = \sqrt{p} - \sqrt{q}$ होगा।
- For infinite nested addition: $\sqrt{n + \sqrt{n + \dots}} = \frac{1 + \sqrt{1 + 4n}}{2}$
- अनंत नेस्टेड जोड़ के लिए: $\sqrt{n + \sqrt{n + \dots}} = \frac{1 + \sqrt{1 + 4n}}{2}$
- For infinite nested subtraction: $\sqrt{n - \sqrt{n - \dots}} = \frac{-1 + \sqrt{1 + 4n}}{2}$
- अनंत नेस्टेड घटाव के लिए: $\sqrt{n - \sqrt{n - \dots}} = \frac{-1 + \sqrt{1 + 4n}}{2}$
Self-Evaluation Checklist स्व-मूल्यांकन चेकलिस्ट
- Understand laws of indices and nested surds conversions घातांक के नियमों और नेस्टेड करणी रूपांतरणों को समझें
- Master denominator rationalization methods हर (denominator) के परिमेयकरण विधियों में महारत हासिल करें
- Learn to find the square root of mixed quadratic surds मिश्रित द्विघात करणी के वर्गमूल ज्ञात करना सीखें
- Master LCM methods for comparing different order surds विभिन्न घातों वाली करणी की तुलना करने की LCM विधि सीखें
Exam Shortcuts & Tricks परीक्षा शॉर्टकट और युक्तियाँ
1. Consecutive Factors Rule for Infinite Surds
1. अनंत करणी के लिए लगातार गुणनखंड नियम
If $n$ can be factored into two consecutive integers $k(k+1)$, then:
- The plus (+) series evaluates directly to the larger factor: $\mathbf{k+1}$
- The minus (-) series evaluates directly to the smaller factor: $\mathbf{k}$
यदि $n$ को दो लगातार पूर्णांकों $k(k+1)$ में विभाजित किया जा सकता है, तो:
- प्लस (+) श्रृंखला का मान सीधे बड़ा कारक होता है: $\mathbf{k+1}$
- माइनस (-) श्रृंखला का मान सीधे छोटा कारक होता है: $\mathbf{k}$
2. Comparison of Sums of Surds
2. करणी के योगों की तुलना
To compare expressions like $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ and $\sqrt{c} + \sqrt{d}$ where $a+b = c+d$:
Square both terms. The term with the larger product of the numbers ($a \times b$ vs $c \times d$) is the larger value.
$\sqrt{a} + \sqrt{b}$ और $\sqrt{c} + \sqrt{d}$ जैसे व्यंजकों की तुलना करने के लिए जहाँ $a+b = c+d$ है:
दोनों पदों का वर्ग करें। संख्याओं के बड़े गुणनफल ($a \times b$ बनाम $c \times d$) वाला पद बड़ा मान होगा।
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