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Basic algebraic identities

बुनियादी बीजीय सर्वसमिकाएँ

Master the core formulas and expansion identities of Algebra — including squares, cubes, reciprocal relations, and three-variable equations evaluated in SSC CGL Tier 1 and Tier 2.

बीजगणित के मूल सूत्रों और प्रसार सर्वसमिकाओं पर महारत हासिल करें — जिसमें वर्ग, घन, पारस्परिक संबंध और तीन-चर वाले समीकरण शामिल हैं जो SSC CGL Tier 1 और Tier 2 में पूछे जाते हैं।

SSC CGL Core Concepts & Study Notes SSC CGL मुख्य अवधारणाएं और अध्ययन नोट्स

1. Reciprocal Variable Relationships ($x + \frac{1}{x} = k$) 1. पारस्परिक चर संबंध ($x + \frac{1}{x} = k$ पैटर्न)

The most repeating question pattern in CGL Tier-1 and Tier-2 is power scaling from $x + \frac{1}{x} = k$: CGL Tier-1 और Tier-2 में सबसे अधिक दोहराया जाने वाला प्रश्न पैटर्न $x + \frac{1}{x} = k$ से पावर स्केलिंग है:

Given (दिया है)	Formulas to Remember (स्मरण रखने योग्य सूत्र)
$x + \frac{1}{x} = k$	$x^2 + \frac{1}{x^2} = k^2 - 2$ $x^3 + \frac{1}{x^3} = k^3 - 3k$ $x^5 + \frac{1}{x^5} = \left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right)\left(x^3 + \frac{1}{x^3}\right) - \left(x + \frac{1}{x}\right)$
$x - \frac{1}{x} = k$	$x^2 + \frac{1}{x^2} = k^2 + 2$ $x^3 - \frac{1}{x^3} = k^3 + 3k$ $x^5 - \frac{1}{x^5} = \left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right)\left(x^3 - \frac{1}{x^3}\right) - \left(x - \frac{1}{x}\right)$
Alternating Signs	$x - \frac{1}{x} = \sqrt{\left(x + \frac{1}{x}\right)^2 - 4}$ $x + \frac{1}{x} = \sqrt{\left(x - \frac{1}{x}\right)^2 + 4}$

2. Standard Value Shortcuts (Extremely Important) 2. मानक मान शॉर्टकट (अत्यंत महत्वपूर्ण)

Memorizing these specific output states saves critical time in CGL exam: इन विशिष्ट आउटपुट स्थितियों को याद रखने से CGL परीक्षा में महत्वपूर्ण समय बचता है:

$\text{If } x + \frac{1}{x} = 1 \implies x^3 = -1 \quad (\text{hence } x^3 + 1 = 0)$

$\text{If } x + \frac{1}{x} = -1 \implies x^3 = 1 \quad (\text{hence } x^3 - 1 = 0)$

$\text{If } x + \frac{1}{x} = \sqrt{3} \implies x^6 = -1 \quad (\text{hence } x^6 + 1 = 0)$

3. Three-Variable Cubic Expansion $(a^3+b^3+c^3-3abc)$ 3. तीन-चरों वाली घनीय सर्वसमिका $(a^3+b^3+c^3-3abc)$

CGL frequently tests three different formats depending on given variables: CGL दिए गए चरों के आधार पर अक्सर तीन अलग-अलग रूपों का परीक्षण करता है:

Format A (Symmetric): $a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2 - ab - bc - ca)$

Format B (Ratio/Sum given): $a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a+b+c)[(a+b+c)^2 - 3(ab+bc+ca)]$

Format C (Close values): $a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = \frac{1}{2}(a+b+c)[(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2]$

🎯 Special Case: If $a+b+c=0$, then $a^3 + b^3 + c^3 = 3abc$. (Usually tested by setting $a = p-q$, $b = q-r$, $c = r-p$). 🎯 विशेष मामला: यदि $a+b+c=0$ है, तो $a^3 + b^3 + c^3 = 3abc$ होगा। (आमतौर पर $a = p-q$, $b = q-r$, $c = r-p$ रखकर परीक्षण किया जाता है)।

4. Special Factorization Form $(x^4 + x^2y^2 + y^4)$ 4. विशेष गुणनखंड रूप $(x^4 + x^2y^2 + y^4)$

$x^4 + x^2y^2 + y^4 = (x^2 + xy + y^2)(x^2 - xy + y^2)$

5. Sum of Squares Equals Zero 5. वर्गों का योग शून्य के बराबर

If sum of perfect squares is zero, then each term is individually zero: यदि पूर्ण वर्गों का योग शून्य है, तो प्रत्येक पद व्यक्तिगत रूप से शून्य होता है:

$\text{If } X^2 + Y^2 + Z^2 = 0 \implies X = 0, \ Y = 0, \ Z = 0$

Quick Formula Card त्वरित सूत्र कार्ड

$(a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab$
$(a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab$
$(a+b)^2 + (a-b)^2 = 2(a^2 + b^2)$
$(a+b)^2 + (a-b)^2 = 2(a^2 + b^2)$
$a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca = \frac{1}{2}[(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2]$
$a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca = \frac{1}{2}[(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2]$
If $x + \frac{1}{x} = 2 \implies x = 1$
यदि $x + \frac{1}{x} = 2 \implies x = 1$
If $x + \frac{1}{x} = -2 \implies x = -1$
यदि $x + \frac{1}{x} = -2 \implies x = -1$

Self-Evaluation Checklist स्व-मूल्यांकन चेकलिस्ट

Memorize all square expansion identities सभी वर्ग प्रसार सर्वसमिकाओं को याद करें
Memorize cubic expansions and reciprocal patterns घन प्रसार और पारस्परिक पैटर्न याद रखें
Understand conditions for $a^3+b^3+c^3-3abc = 0$ $a^3+b^3+c^3-3abc = 0$ के लिए शर्तों को समझें
Practice value-substitution shortcut methods मान-प्रतिस्थापन (value substitution) शॉर्टकट विधियों का अभ्यास करें

Exam Shortcuts & Tips परीक्षा शॉर्टकट्स और टिप्स

Tip 1: Value Substitution (Value Putting Method) टिप 1: मान प्रतिस्थापन (Value Putting Method)
When expressions are symmetric and independent of individual variables, substitute easy integers like $1$, $0$, or $-1$ (avoiding division by zero) to evaluate the options immediately. जब व्यंजक सममित और व्यक्तिगत चरों से स्वतंत्र हों, तो विकल्पों का तुरंत मूल्यांकन करने के लिए $1$, $0$, या $-1$ जैसे आसान पूर्णांक प्रतिस्थापित करें (शून्य से विभाजन से बचें)।
Tip 2: Sum of squares equal to zero टिप 2: वर्गों का योग शून्य के बराबर
If $(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = 0$, then each squared term must individually equal zero: $x = a$, $y = b$, $z = c$. यदि $(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = 0$ है, तो प्रत्येक वर्ग पद व्यक्तिगत रूप से शून्य होना चाहिए: $x = a$, $y = b$, $z = c$।
Tip 3: Reciprocal power scaling टिप 3: पारस्परिक घात स्केलिंग
To find $x^5 + \frac{1}{x^5}$, always scale up using: $\left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right)\left(x^3 + \frac{1}{x^3}\right) - \left(x + \frac{1}{x}\right)$. $x^5 + \frac{1}{x^5}$ खोजने के लिए, हमेशा इस संबंध का उपयोग करके आगे बढ़ें: $\left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right)\left(x^3 + \frac{1}{x^3}\right) - \left(x + \frac{1}{x}\right)$।

Bilingual Practice Questions द्विभाषिक अभ्यास प्रश्न

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Previous Year Questions (PYQ Pattern) पिछले वर्ष के प्रश्न (PYQ पैटर्न)

Directly compiled and extracted actual questions from recent SSC CGL papers (2024 & 2025).

हालिया SSC CGL परीक्षाओं (2024 और 2025) से सीधे संकलित और निकाले गए वास्तविक प्रश्न।

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Basic algebraic identities — Timed Mini Test बुनियादी बीजीय सर्वसमिकाएँ — समयबद्ध मिनी टेस्ट

Evaluation Summary मूल्यांकन सारांश

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